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ドラフトの戦略８
《聖句札の死者》は出るか？ 計算するよ！M11のアーティファクト・シナジー
M11発売！ 皆さん、ドラフト楽しんでいますか？
色んなカードとシナジーを持つカードは、点数づけが厄介です。
これらのカードは特に、何度かドラフトをしないと適切に評価するのは難しいなあ、と常々感じています。
これらのカードは特に、何度かドラフトをしないと適切に評価するのは難しいなあ、と常々感じています。
ただ、ドラフトで試行錯誤せずとも、
「何枚くらい、ピックできそうか」
「どの程度、唱えるチャンスがありそうか」
といった事柄は、確率計算 の手を借りれば、大雑把に見積もることができますので、
（管理人のGRが、以前から内に秘めていた「点数表を使い倒してみたい」という思いもあって）、
今回はこれに挑戦したいと思います。
数字が苦手な方は、式を読みとばしてくださいませ。
「何枚くらい、ピックできそうか」
「どの程度、唱えるチャンスがありそうか」
といった事柄は、確率計算 の手を借りれば、大雑把に見積もることができますので、
（管理人のGRが、以前から内に秘めていた「点数表を使い倒してみたい」という思いもあって）、
今回はこれに挑戦したいと思います。
数字が苦手な方は、式を読みとばしてくださいませ。
早速、M11にあるシナジーを持つカードについて考察していきますが…
前者は、「3マナ5/5破壊されない」というクリーチャーですが、
(1) 黒マナ3つが出せる
(2) アーティファクトがプレイされて戦場にある
という条件をクリアしないと、そもそも場にすら出せません。
(1) 黒マナ3つが出せる
(2) アーティファクトがプレイされて戦場にある
という条件をクリアしないと、そもそも場にすら出せません。
強いアーティファクトは概して(3)マナ以上なので、序盤３ターンめから出てくることはほぼ無いですが、ゲーム後半に出てきても強そうな感じがします。
後者は、自身を含め、アーティファクト・クリーチャーを強化する能力を持ちます。
第１パックでこれを取ったなら、そのあと優先的にアーティファクト・クリーチャーを集めれば、アーティファクト満載デッキも作れそうな気がします。
M11のアーティファクト・クリーチャーは強いので、集められれば、かなり強いデッキが作れそうに見えます。
M11のアーティファクト・クリーチャーは強いので、集められれば、かなり強いデッキが作れそうに見えます。
これらの評価をする上で、一連のドラフトのピックで、何枚ほどアーティファクトを （またはアーティファクト・クリーチャーを）集められるのか が気になるところです。
さっそく、大雑把に計算してみましょう。
希少度別のカードの出現率
パックの中のカードをすべてごちゃまぜにした場合、希少度ごとに出やすさは異なります。
どのくらい違うのかを見てみましょう。
どのくらい違うのかを見てみましょう。
まず、簡単のため、基本土地と、フォイル・カード（プレミアム・カード）を無視します。
M11のパックの場合、レアもしくは神話レアが１枚、アンコモンが３枚、コモンが１０枚含まれ、神話レアの封入率は（従来のものと同じと考えると）８パックに１つ程度だそうです。
M11のパックの場合、レアもしくは神話レアが１枚、アンコモンが３枚、コモンが１０枚含まれ、神話レアの封入率は（従来のものと同じと考えると）８パックに１つ程度だそうです。
M11では、神話レアが全15種、レアが全53種、アンコモンが全60種、コモンが全101種なので、１パック内から出てくる期待枚数は、このようになっています。
・ある特定の神話レアが出る、期待枚数は、
(1 / 15) × (1/8) = 0.0083 (枚)
・ある特定のレアが出る、期待枚数は、
(1 / 53) × (7/8) = 0.0165 (枚)
・ある特定のアンコモンが出る、期待枚数は、
(1 / 60) × 3 = 0.05 (枚)
・ある特定のコモンが出る、期待枚数は、
(1 /101) × 10 = 0.0990 (枚)
(1 / 15) × (1/8) = 0.0083 (枚)
・ある特定のレアが出る、期待枚数は、
(1 / 53) × (7/8) = 0.0165 (枚)
・ある特定のアンコモンが出る、期待枚数は、
(1 / 60) × 3 = 0.05 (枚)
・ある特定のコモンが出る、期待枚数は、
(1 /101) × 10 = 0.0990 (枚)
つまり大雑把に見て、特定のカードの出やすさは、
神話レア：レア：アンコモン：コモン = １ ： ２ ： ６ ： １２
となっています。神話レアを各１枚、レアを各２枚、アンコモンを各６枚、コモンを各１２枚 混ぜた１６９３枚の束を作ったとします。
これを束Ａ と呼ぶことにすると、
「M11のパックから、基本土地以外をランダムに１枚取る」ことは、
確率的には「束Ａ から１枚取る」のと同じ とみなせます。
これを束Ａ と呼ぶことにすると、
「M11のパックから、基本土地以外をランダムに１枚取る」ことは、
確率的には「束Ａ から１枚取る」のと同じ とみなせます。
ここで、束Ａ に入っているカード枚数の、希少度別の分布は次のようになっています。
（強さの基準がほしかったため、ver.2010-07-24 時点の、ドラフト点数表の得点を使いました）
（強さの基準がほしかったため、ver.2010-07-24 時点の、ドラフト点数表の得点を使いました）
| 得点 | ９+ | ８.５ | ８ | ７.５ | ７ | ６.５ | ６ | ５.５ | ５ | ４.５ | ４- | total |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 神話 | 4 | 8 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 15 |
| レア | 16 | 18 | 8 | 0 | 10 | 8 | 22 | 2 | 4 | 8 | 10 | 106 |
| アンコ | 0 | 18 | 30 | 54 | 78 | 30 | 48 | 6 | 24 | 18 | 54 | 360 |
| コモン | 0 | 0 | 24 | 36 | 96 | 144 | 228 | 288 | 192 | 120 | 84 | 1212 |
| total | 20 | 44 | 63 | 90 | 184 | 182 | 299 | 297 | 220 | 146 | 148 | 1693 |
| 累積 | 1693 | 1673 | 1629 | 1566 | 1476 | 1292 | 1110 | 811 | 514 | 294 | 148 | 0 |
アーティファクトは何枚取れるか？
話を単純にするため、
・自分は、「点数５以上のアーティファクト」があれば、それを取る。
なければ、色に関係なく点数の高いカードをとる。
なければ、色に関係なく点数の高いカードをとる。
・他の７人は、色に関係なく点数の高いカードをとる。
・同点数のカードが複数ある場合、どれを取るかはランダムとする。
というルールに則ったピックを行い、自分が（デッキに入る）アーティファクトを何枚集められそうかを考えましょう。さて、デッキに入れたい「５点以上のアーティファクト」は、束Ａ の中に、これだけ入っています。
| 得点 | ９+ | ８.５ | ８ | ７.５ | ７ | ６.５ | ６ | ５.５ | ５ | ４.５ | ４- | total |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 枚数 | 4 | 3 | 0 | 18 | 12 | 6 | 2 | 6 | 2 | 0 | 0 | 53 |
| 累積 | 53 | 49 | 46 | 46 | 28 | 16 | 10 | 8 | 2 | 0 | 0 | 0 |
さて、各回のピックで巡ってくる束に、欲しいアーティファクトが含まれる確率を見積もりましょう。
正確に求めることも可能だと思いますが、場合分けが煩雑になるので、ここでは次の仮定を置いて簡便に計算したいと思います。
正確に求めることも可能だと思いますが、場合分けが煩雑になるので、ここでは次の仮定を置いて簡便に計算したいと思います。
・最高得点が m 点であるような、n 枚の束から１枚取り出したとき、それが欲しいアーティファクトである確率 Pn,m が、
Pn,m = 「束Ａ に含まれる n 点以下のアーティファクトの総数」÷「束Ａ に含まれる n 点以下の全カードの総数」
の式で出せるものとする。
・自分の１回目のピックの影響を無視する。
（パックの１巡目で自分がアーティファクトをピックした場合、２巡目ではアーティファクトが含まれる確率は減るはずですが、この減り分を無視しています）
（パックの１巡目で自分がアーティファクトをピックした場合、２巡目ではアーティファクトが含まれる確率は減るはずですが、この減り分を無視しています）
さて、最高得点が m 点であるような、n 枚の束に含まれるカードの中に、欲しいアーティファクトが１枚以上含まれている確率は、上の Pn,m を用いると、
1 - ( 1 - Pn,mn )
とかけます。
１４枚の束から得点の高いカードから順に引いてゆき、残った n 枚に含まれるカード点数の最高値が m である確率を Fn,m と表すことにすれば、
n 枚の束（第 15-n ピック目）に含まれるカードの束に、欲しいアーティファクトが１枚以上含まれている確率は、
n 枚の束（第 15-n ピック目）に含まれるカードの束に、欲しいアーティファクトが１枚以上含まれている確率は、
Σm [ { 1 - ( 1 - Pn,mn ) } ・ Fn,m ]
とかけます。
※ 補足 : Fn,m について
Fn,m は正確に計算できますが、書くと長くなるので省略。結果だけグラフで示します。「1st pick」が n=14 のとき。横軸が m で、縦軸が Fn,m です。
得点の高いカードは少ないため、初めの数ピックでは、１枚取るごとに劇的に点数の最高値が下がります。
形がいびつなのは、主に、各点数域に配置されているカード枚数がばらばらなためです。
得点の高いカードは少ないため、初めの数ピックでは、１枚取るごとに劇的に点数の最高値が下がります。形がいびつなのは、主に、各点数域に配置されているカード枚数がばらばらなためです。
たとえば、第４ピック・１１枚のカードの中に、欲しいアーティファクトが１枚以上含まれている確率を求めると、
{ 1 - ( 1 - ( 53 / 1693 ) 11 ) } ・0.000 ←[最高得点が9.0点の束の分]
+ { 1 - ( 1 - ( 49 / 1673 ) 11 ) } ・0.001 ←[最高得点が8.5点の束の分]
+ { 1 - ( 1 - ( 46 / 1629 ) 11 ) } ・0.016 ←[8.0点…以下同様]
+ { 1 - ( 1 - ( 46 / 1566 ) 11 ) } ・0.077
+ { 1 - ( 1 - ( 28 / 1476 ) 11 ) } ・0.338
+ { 1 - ( 1 - ( 16 / 1292 ) 11 ) } ・0.334
+ { 1 - ( 1 - ( 10 / 1110 ) 11 ) } ・0.214
+ { 1 - ( 1 - ( 8 / 811 ) 11 ) } ・0.020
+ { 1 - ( 1 - ( 2 / 514 ) 11 ) } ・0.000
+ { 1 - ( 1 - ( 0 / 294 ) 11 ) } ・0.000
+ { 1 - ( 1 - ( 0 / 148 ) 11 ) } ・0.000
これを計算して、確率は 0.155 程度とわかります。
+ { 1 - ( 1 - ( 49 / 1673 ) 11 ) } ・0.001 ←[最高得点が8.5点の束の分]
+ { 1 - ( 1 - ( 46 / 1629 ) 11 ) } ・0.016 ←[8.0点…以下同様]
+ { 1 - ( 1 - ( 46 / 1566 ) 11 ) } ・0.077
+ { 1 - ( 1 - ( 28 / 1476 ) 11 ) } ・0.338
+ { 1 - ( 1 - ( 16 / 1292 ) 11 ) } ・0.334
+ { 1 - ( 1 - ( 10 / 1110 ) 11 ) } ・0.214
+ { 1 - ( 1 - ( 8 / 811 ) 11 ) } ・0.020
+ { 1 - ( 1 - ( 2 / 514 ) 11 ) } ・0.000
+ { 1 - ( 1 - ( 0 / 294 ) 11 ) } ・0.000
+ { 1 - ( 1 - ( 0 / 148 ) 11 ) } ・0.000
すなわち、第４ピックでは、平均して 0.155 枚のアーティファクトを回収できる 、という意味です。
同様にして、各ピックから回収できるアーティファクトの枚数を求めると、以下のようになりました。
| pick | 1st | 2nd | 3rd | 4th | 5th | 6th | 7th | 8th |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 枚数 | 0.324 | 0.265 | 0.205 | 0.155 | 0.119 | 0.094 | 0.076 | 0.062 |
| pick | 9th | 10th | 11th | 12th | 13th | 14th | - | total |
| 枚数 | 0.049 | 0.034 | 0.020 | 0.009 | 0.003 | 0.000 | - | 1.415 |
１パック１４回のピックで かき集められるアーティファクトの数は、平均して 1.415 枚。
全ドラフト（３パック）なら、この３倍、1.415×3 = 4.245 (枚) が期待できます。
全ドラフト（３パック）なら、この３倍、1.415×3 = 4.245 (枚) が期待できます。
同様のことをアーティファクト・クリーチャーについて行うと、
３パック中に、0.571×3 = 1.71 (枚) のアーティファクト・クリーチャーが取れる計算になりました。
| pick | 1st | 2nd | 3rd | 4th | 5th | 6th | 7th | 8th |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 枚数 | 0.161 | 0.131 | 0.101 | 0.072 | 0.048 | 0.029 | 0.016 | 0.008 |
| pick | 9th | 10th | 11th | 12th | 13th | 14th | - | total |
| 枚数 | 0.003 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | - | 0.571 |
実際には、アーティファクトが流れてきても、より強力な別のカードを取りたい場面も出てくるでしょう。現実には、そのぶんデッキに入るアーティファクトの枚数は少なくなると思います。
無条件でアーティファクトを集めるなら、平均して４枚のアーティファクト、２枚のアーティファクト・クリーチャーを期待してよいようです。
無条件でアーティファクトを集めるなら、平均して４枚のアーティファクト、２枚のアーティファクト・クリーチャーを期待してよいようです。
※ 補足２ : 点数づけの影響について
ちなみに、この計算では自前の点数表を使って値を算出していますが、つける点数が多少前後したとしても、確率分布は大きく変わらないので、結論の見積もり枚数には大きくは影響しません。
ただし、「デッキに入るアーティファクトとして、どれを候補とするか」という選択（とくに束Ａ に含まれる総数）の影響は大きいです。
たとえば、「黒のラッキーチャームは何枚でもデッキに入れて良し」としてかき集めにかかるなら、得られるアーティファクトの期待枚数は 平均 6.06 枚となり、大きく増えます。
ただし、「デッキに入るアーティファクトとして、どれを候補とするか」という選択（とくに束Ａ に含まれる総数）の影響は大きいです。
たとえば、「黒のラッキーチャームは何枚でもデッキに入れて良し」としてかき集めにかかるなら、得られるアーティファクトの期待枚数は 平均 6.06 枚となり、大きく増えます。
デッキに入れたとき唱えられるのか？
アーティファクトのマナ・コストや、黒マナ３つの条件、土地事故などの影響を無視し、とりあえず
「手札に必要なカードが揃ったら、プレイできる」として考えることにします。
「手札に必要なカードが揃ったら、プレイできる」として考えることにします。
また、１５枚中に、《聖句札の死者》とアーティファクトが１種以上来るのは、
{ kＣ1・39-kＣ13 + kＣ2・39-kＣ12 + kＣ3・39-kＣ11 + … + kＣk・39-kＣ14-k } / 40Ｃ15
の式で出せます。いろいろな k について計算すると、k=1 のとき、確率 0.134
k=2 のとき、確率 0.223
k=3 のとき、確率 0.281
k=4 のとき、確率 0.317
k=5 のとき、確率 0.340
k=6 のとき、確率 0.355
k=7 のとき、確率 0.363
となっています。
k=2 のとき、確率 0.223
k=3 のとき、確率 0.281
k=4 のとき、確率 0.317
k=5 のとき、確率 0.340
k=6 のとき、確率 0.355
k=7 のとき、確率 0.363
また、アーティファクトが４枚入っているデッキで、《聖句札の死者》が手札にあるのに、アーティファクトが無いために唱えられず、悔しい思いをするケースは、
1 - 0.317 / 0.375 = 0.154
より、７回に１回くらいの頻度だとわかります。初手に《聖句札の死者》が来たなら、アーティファクトを集めてみるのも面白いのではないでしょうか。
うまく集められず、デッキに入っているアーティファクトが３枚なら、いわゆる事故率は
1 - 0.280 / 0.375 = 0.253
４回に１回くらいの頻度だとわかります。こうなると、採用は難しいかもしれません。同じようにして、《鋼の監視者》と、他のアーティファクト・クリーチャーが、８ターンめまでにどの程度引けるか（唱えられるか）も考えていきましょう。
まとめ
他を差し置いて かき集めれば、
平均して 4.2 枚の（デッキに入りうる）アーティファクト 、
1.7 枚のアーティファクト・クリーチャー をピックできる。
（あくまで、仮定をおいた上での計算結果です）
平均して 4.2 枚の（デッキに入りうる）アーティファクト 、
1.7 枚のアーティファクト・クリーチャー をピックできる。
（あくまで、仮定をおいた上での計算結果です）
アーティファクトが４枚入ったデッキなら、８ターン目までの間、
「《聖句札の死者》が手札にあるのに、アーティファクトが無いために唱えられず、悔しい思いをする」ケースは、７回に１回くらいの頻度で、そんなに多くない。
デッキに入れてプレイする余地は、十分ありそう。
「《聖句札の死者》が手札にあるのに、アーティファクトが無いために唱えられず、悔しい思いをする」ケースは、７回に１回くらいの頻度で、そんなに多くない。
デッキに入れてプレイする余地は、十分ありそう。
（注意）
今回、考えたのは「唱えられるかどうか」のみで、アーティファクトが《帰化》などの対策呪文で壊されてしまうケースは、まったく考慮していません。
対策手段を豊富に持っていそうな相手と対戦する場合には注意。この計算を過信しすぎないように！
今回、考えたのは「唱えられるかどうか」のみで、アーティファクトが《帰化》などの対策呪文で壊されてしまうケースは、まったく考慮していません。
対策手段を豊富に持っていそうな相手と対戦する場合には注意。この計算を過信しすぎないように！
おわりに
「平均」から見たM11のアーティファクト・シナジーは、こんな感じになりました。
レアとはいえ、《聖句札の死者》 は嫌われているせいか良く回ってくるようですので、ドラフトの実践でチャンスがあれば、シナジーは狙ってみたいと思います。
レアとはいえ、《聖句札の死者》 は嫌われているせいか良く回ってくるようですので、ドラフトの実践でチャンスがあれば、シナジーは狙ってみたいと思います。
今回、読んで頭が痛くなってしまった人、ごめんなさい。
確率計算なんて暇つぶしのようなものですが、１度くらいは書いておきたかったのです。
（上記のレポート、もし大きな誤りが見つかりましたら、別の回で修正します。その際はご容赦を…）
ではまた！
確率計算なんて暇つぶしのようなものですが、１度くらいは書いておきたかったのです。
（上記のレポート、もし大きな誤りが見つかりましたら、別の回で修正します。その際はご容赦を…）
ではまた！
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